Darstellungstheorie endlicher Gruppen

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Wann und wo?

• Raum und Uhrzeit:
  • Seminarraum 1.007, Mathematik-Zentrum, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn
  • Jeden Dienstag von 10:00-12:00
  • Erster Termin: 18.04.2017
• Vorbesprechung:
  • 03.02.2017, Seminarraum 1.007, Mathematik-Zentrum, Endenicher Allee 60, 53115 Bonn

Regeln für die Vorträge

• Regeln: Hier die Liste von Dingen, welche Sie für die Vorträge beachten sollten.
• Notation: Hier eine Liste von Notation, welche abweichend von der Literatur benutzt werden soll.

Terminplan

1. 18.04.2017, Vortragende: Franziska Fischer, Titel: Lineare Darstellungen
2. 25.04.2017, Anmerkung: Bleibt frei
3. 02.05.2017, Vortragender: Edgar Krill, Titel: Zerlegbarkeit
4. 09.05.2017, Vortragender: Tobias Görgen, Titel: Produkte I
5. 16.05.2017, Vortragender: Jan Lukas Uerz, Titel: Charaktere
6. 23.05.2017, Vortragender: Alexander Ochs, Titel: Orthogonalität
7. 30.05.2017, Vortragender: Sebastian Peter Schwick, Titel: Zerlegungen
8. 13.06.2017, Vortragende: Lukas Bonfert, Titel: Induzierte Darstellungen I
9. 20.06.2017, Vortragender: Christian Schumacher, Titel: Gruppenalgebra
10. 27.06.2017, Anmerkung: Bleibt frei
11. 04.07.2017, Vortragender: Lars Friederichs, Titel: Produkte II
12. 11.07.2017, Vortragender: Lukas Schembecker, Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe I
13. 18.07.2017, Vortragende: Susanne Armbruster, Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe II
14. 25.07.2017, Vortragende: Luise Puhlmann, Titel: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$

Details zu den Vorträgen

• Die Hauptreferenz ist [Ser]. Bitte hierbei die deutsche Version verwenden. Die anderen Referenzen sind vor allem zur weiteren Unterstützung und Ausarbeitung vorgesehen.
• Die Vorträge sollten möglichst frei gehalten werden.
• Hier auch eine hilfreiche Seite, welche einige Tipps bezüglich ihres Vortrages gibt.
• Eine hilfreiche Referenz für die Vorträge im Bezug auf algebraische Definitionen ist [KaMe].
• Bitte zögern Sie nicht uns auch direkt anzusprechen!

1. • Titel: Lineare Darstellungen.
   • Themen: Ordnung von Elementen endlichen Gruppen (Definition und Beweis der Existenz), Darstellungen, Beispiele (reguläre Darstellung, Permutationsdarstellungen und assoziierte lineare Darstellungen, etc.). Einschränkungen auf Untergruppen, invariante Unterräume, Unterdarstellungen, Skalarprodukte.
   • Literatur: [FuHa, 1.1], [Ser, 1.1 - 1.3]
2. • Anmerkung: Bleibt frei.
3. • Titel: Zerlegbarkeit.
   • Themen: Direkte Summen, Zerlegbarkeit bzw. Irreduzibilität, Satz von Maschke, Lemma von Schur. Beispiel: $G$ abelsch.
   • Literatur: [FuHa, 1.2 + 1.3], [JaLi, 8,9,10], [Ser, 1.4 + 2.2 + 3.1]
4. • Titel: Produkte I.
   • Themen: Tensorprodukt, äußeres und symmetrisches Produkt von Vektorräumen und von Darstellungen. Beispiel: $G = S_3$.
   • Literatur: [FuHa, 1.1 + 1.3], [JaLi, 19], [Ser, 1.5 + 1.6]
5. • Titel: Charaktere.
   • Themen: Definition und Beispiele. Formeln für Produkte. Klassenfunktionen $C(G)$ auf $G$.
   • Literatur: [FuHa, 2.1], [JaLi, 13], [Ser, 2.1]
6. • Titel: Orthogonalität.
   • Themen: Skalarprodukt, Projektoren, Darstellungsring $R(G)$ einer Gruppe. Beispiele: $G = S_4$ und $G = A_4$.
   • Literatur: [FuHa, 2.2 - 2.4], [JaLi, 16], [Ser, 2.3]
7. • Titel: Zerlegungen.
   • Themen: Zerlegung der regulären Darstellung. Kanonische Zerlegung einer beliebigen Darstellung.
   • Literatur: [Ser, 2.4 - 2.6], auch [JaLi, 10]
8. • Titel: Induzierte Darstellungen I.
   • Themen: Hochinduzieren einer Darstellung einer Untergruppe $H< G$ zu einer Darstellung von $G$, Konstruktion und Charaktere. (Sätze von Frobenius, Artin, Brauer und Mackey vorstellen.)
   • Literatur: [FuHa, 3.3], [JaLi, 21], [Ser, 3.3 (7, 9, 10 + 11)]
9. • Titel: Gruppenalgebra.
   • Themen: $\mathbb{C}$-Moduln mit $G$-Operation, Zerlegung und Zentrum von $\mathbb{C}(G)$, Induzieren via Tensorprodukt (d.h. $\mathbb{C}[G]\otimes_{\mathbb{C}[H]}-$).
   • Literatur: [Bro, III.5], [FuHa, 3.4], [JaLi, 6], [Ser, 6.1 - 6.5], Blog
10. • Anmerkung: Bleibt frei.
11. • Titel: Produkte II.
    • Themen: Semidirekte Produkte, Kranzprodukte, Gruppoidenansatz.
    • Literatur: [MaSt, 2.1 - 2.4], [Ser, 9.2]
12. • Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe I.
    • Themen: Partitionen, Young-Untergruppen, Young-Tableaux, Young-Symmetrisator. Irreduzible Darstellungen.
    • Literatur: [FuHa, 4.1 + 4.2], [JaLi, 29]
13. • Titel: Darstellungen der symmetrischen Gruppe II.
    • Themen: Specht-Moduln. Beweis [FuHa, Problem 4.47]. Youngs orthogonale Form.
    • Literatur: [CSST, 3.4.2], [FuHa, 4.3], [JaLi, 29]
14. • Titel: Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppen $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_q)$.
    • Themen: Darstellungen der allgemeinen und der Gruppe von invertierbaren $2\times 2$ Matrizen über einem endlichen Körper $\mathbb{F}_q$.
    • Literatur: [FuHa, 5.1], [JaLi, 12, S. 111-113]

Literatur

• [Bro] K.S. Brown. Cohomology of groups. Corrected reprint of the 1982 original. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York, 1994.
• [CSST] T. Ceccherini-Silberstein, F. Scarabotti, F. Tolli. Representation theory of the symmetric groups. The Okounkov-Vershik approach, character formulas, and partition algebras. Advanced Mathematics, 121. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
• [FuHa] W. Fulton, J. Harris. Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 129. Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991.
• [JaLi] G. James, M. Liebeck. Representations and characters of groups. Second edition. Cambridge University Press, New York, 2001.
• [KaMe] C. Karpfinger, K. Meyberg. Gruppen - Ringe - Körper. Dritte Auflage. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2013.
• [Lei] T. Leinster. Basic category theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 143. Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
• [MaSt] V. Mazorchuk, C. Stroppel. $G(\ell,k,d)$-modules via groupoids. J. Algebraic Combin. 43 (2016), no. 1, 11-32. arXiv
• [Ser] J.P. Serre. Linear representations of finite groups. Translated from the second French edition by Leonard L. Scott. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977. Wichtig: Dieses Buch existiert auch in einer deutschen Übersetzung. Die Literaturverweise oben sind im Bezug auf diese (1972ger Version) angegeben und weichen von der Nummerierung in den neueren Version ab.